Suatu deret geometri di mana semua sukunya positif. Jika \( U_1+U_2+U_3 = 10,5 \) dan \( {}^2 \! \log U_1 + {}^2 \! \log U_2+{}^2 \! \log U_3 = {}^2 \! \log U_4-2 \), maka suku keempat deret itu adalah…
- 32
- 34
- 36
- 40
- 42
Pembahasan:
Dari sifat logaritma, kita peroleh:
\begin{aligned} {}^2 \! \log U_1 + {}^2 \! \log U_2+{}^2 \! \log U_3 &= {}^2 \! \log U_4-2 \\[8pt] {}^2 \! \log (U_1 \cdot U_2 \cdot U_3) &= {}^2 \! \log U_4-{}^2 \! \log 2^2 \\[8pt] {}^2 \! \log (U_1 \cdot U_2 \cdot U_3) &= {}^2 \! \log \left( \frac{U_4}{4} \right) \\[8pt] U_1 \cdot U_2 \cdot U_3 &= \frac{U_4}{4} \\[8pt] a \cdot ar \cdot ar^2 &= \frac{ar^3}{4} \\[8pt] a^3 r^3 &= \frac{ar^3}{4} \\[8pt] a^2 &= \frac{1}{4} \Leftrightarrow a = \pm \frac{1}{2} \end{aligned}
Untuk \( a = \frac{1}{2} \), kita peroleh:
\begin{aligned} U_1+U_2+U_3 &= 10,5 \\[8pt] a+ar+ar^2 &= 10,5 \\[8pt] \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \cdot r + \frac{1}{2} \cdot r^2 &= 10,5 \\[8pt] 1+r+r^2 &= 21 \\[8pt] r^2+r-20 &= 0 \\[8pt] (r+5)(r-4) &= 0 \\[8pt] r=-5 \ &\text{atau} \ r = 4 \end{aligned}
Karena \(r=-5\) tidak memenuhi maka \(r=4\) sehingga:
\begin{aligned} U_4 &= ar^{4-1} = \frac{1}{2} \cdot 4^3 \\[8pt] &= \frac{1}{2} \cdot 64 = 32 \end{aligned}
Jawaban A.